Next: Φυσική και γεωμετρική ερμηνεία
Up: Παραγώγιση συναρτήσεων
Previous: Παραγώγιση συναρτήσεων
Ορισμός 52
'Εστω συνάρτηση
![$f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$](img538.gif)
και
![$x_0 \in (a,b)$](img440.gif)
.
Αν υπάρχει το όριο
τότε λέμε ότι η
![$f $](img421.gif)
είναι παραγωγίσιμη στο σημείο
![$x_0$](img338.gif)
και το όριο λέγεται
παράγωγος της
![$f $](img421.gif)
στο σημείο
![$x_0.$](img540.gif)
Γράφουμε
Αν το όριο το πάρουμε για
![$x \to x_0^{+}$](img542.gif)
ή για
![$x \to x_0^{-}$](img543.gif)
τότε λέμε ότι η
![$f $](img421.gif)
έχει παράγωγο από δεξιά ή αριστερά και γράφουμε
![$f'(x^+_0)$](img544.gif)
ή
![$f'(x^-_0)$](img545.gif)
αντίστοιχα.
Σημείωση. Στη περίπτωση που το όριο είναι
ή
λέμε ότι η
έχει
παράγωγο
ή
αντίστοιχα. Δεν λέμε ότι η
είναι παραγωγίσιμη.
Θεώρημα 53
'Εστω συνάρτηση
![$f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$](img538.gif)
και
![$x_0 \in (a,b)$](img440.gif)
.
Αν η
![$f $](img421.gif)
είναι παραγωγίσιμη στο
![$x_0$](img338.gif)
τότε είναι συνεχής στο
![$x_0$](img338.gif)
.
Το αντίστροφο δεν ισχύει.
Πρόταση 54
Αν οι συναρτήσεις
![$f,\;g : (a, b) \rightarrow \mathbb R$](img546.gif)
είναι παραγωγίσιμες στο
![$x_0 \in (a,b)$](img440.gif)
,
τότε:
(i) Η
παραγωγίζεται στο
και ισχύει
(ii) Η
παραγωγίζεται στο
και ισχύει
(iii) Αν επιπλέον
τότε και η
παραγωγίζεται στο
και ισχύει
Θεώρημα 55 (Κανόνας της αλυσίδας)
Αν η
![$g : (a, b) \rightarrow (c,d)$](img554.gif)
είναι
παραγωγίσιμη στο
![$x_0 \in (a,b)$](img440.gif)
και η
![$f : (c,d) \rightarrow \mathbb R$](img555.gif)
είναι παραγωγίσιμη
στο
![$g(x_0),$](img556.gif)
τότε και η σύνθεση των συναρτήσεων
![$f $](img421.gif)
και
![$g$](img557.gif)
,
![$h(x) = f(g(x))$](img558.gif)
είναι
παραγωγίσιμη στο
![$x_0$](img338.gif)
και ισχύει
Θεώρημα 56
'Εστω συνάρτηση
![$f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$](img538.gif)
συνεχής, αμφιμονότιμη και
παραγωγίσιμη στο σημείο
![$x_0$](img338.gif)
με παράγωγο
![$f'(x_0) \not=0$](img560.gif)
.
Τότε και η αντίστροφη
συνάρτηση
![$f^{-1}$](img561.gif)
έχει παράγωγο στο
![$f^{-1}(x_0)$](img562.gif)
και ισχύει
Antonis Tsolomitis
1999-11-11