Ορισμός της παραγώγου

Ορισμός 52   'Εστω συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$ και $x_0 \in (a,b)$. Αν υπάρχει το όριο

$$\lim\limits_{x \to x_0} {{f(x) - f(x_0)}\over {x-x_0}},$$

τότε λέμε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο $x_0$ και το όριο λέγεται παράγωγος της $f$ στο σημείο $x_0.$ Γράφουμε

$$f'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} {{f(x) - f(x_0)}\over {x-x_0}} = Df(x_0) = {df\over dx} \Biggm\arrowvert_{x=x_0}.$$

Αν το όριο το πάρουμε για $x \to x_0^{+}$ ή για $x \to x_0^{-}$ τότε λέμε ότι η $f$ έχει παράγωγο από δεξιά ή αριστερά και γράφουμε $f'(x^+_0)$ ή $f'(x^-_0)$ αντίστοιχα.

Σημείωση. Στη περίπτωση που το όριο είναι $+ \infty$ ή $-\infty$ λέμε ότι η $f$ έχει παράγωγο $+ \infty$ ή $-\infty$ αντίστοιχα. Δεν λέμε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη.

Θεώρημα 53   'Εστω συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$ και $x_0 \in (a,b)$. Αν η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ τότε είναι συνεχής στο $x_0$. Το αντίστροφο δεν ισχύει.

Πρόταση 54   Αν οι συναρτήσεις $f,\;g : (a, b) \rightarrow \mathbb R$ είναι παραγωγίσιμες στο $x_0 \in (a,b)$, τότε:

(i) Η $f \pm g$ παραγωγίζεται στο $x_0$ και ισχύει

$$(f \pm g)'(x_0) = f'(x_0) \pm g'(x_0).$$

(ii) Η $fg$ παραγωγίζεται στο $x_0$ και ισχύει

$$(fg)'(x_0) = f(x_0)g'(x_0)+ f'(x_0)g(x_0).$$

(iii) Αν επιπλέον $g(x_0)\not=0$ τότε και η $f\over g$ παραγωγίζεται στο $x_0$ και ισχύει

$$\bigg({f\over g}\bigg)'(x_0) = { {f'(x_0)g(x_0) - f(x_0) g'(x_0)} \over g^2(x_0)}.$$

Θεώρημα 55 (Κανόνας της αλυσίδας)   Αν η $g : (a, b) \rightarrow (c,d)$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0 \in (a,b)$ και η $f : (c,d) \rightarrow \mathbb R$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(x_0),$ τότε και η σύνθεση των συναρτήσεων $f$ και $g$, $h(x) = f(g(x))$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ και ισχύει

$$h'(x_0) = f'(g(x_0))g'(x_0).$$

Θεώρημα 56   'Εστω συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$ συνεχής, αμφιμονότιμη και παραγωγίσιμη στο σημείο $x_0$ με παράγωγο $f'(x_0) \not=0$. Τότε και η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ έχει παράγωγο στο $f^{-1}(x_0)$ και ισχύει

$$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)},\;\;\; y_0 = f(x_0).$$