Φυσική και γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου.

(i) Φυσική ερμηνεία. Θεωρούμε ένα σώμα που κινείται σε μία ευθεία. 'Εστω ότι κατά τη χρονική στιγμή $t_0$ βρίσκεται στη θέση $O$. 'Αν $s(t)$ είναι η συνάρτηση που δίνει την απόσταση του κινητού από τη θέση $Ο$ τη χρονική στιγμή $t$ τότε το πηλίκο

$${{s(t_0 + h) - s(t_0)}\over {h}}$$

εκφράζει τη μέση ταχύτητα στο χρονικό διάστημα μεταξύ του $t_0$ και του $t_0 + h$. Αν θέλουμε να ορίσουμε τη στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη στιγμή $t_0$ πρέπει να υπολογίσουμε το όριο (άν υπάρχει)

$$\lim\limits_{h \to 0}{{s(t_0 + h) - s(t_0)}\over h} = s'(t_0) = \upsilon (t_0).$$

Δηλαδή η στιγμιαία ταχύτητα του κινητού δίνεται από τη παράγωγο του διαστήματος ως προς τον χρόνο. Ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι η δεύτερη παράγωγος του διαστήματος ως προς το χρόνο είναι η επιτάχυνση.

(ii) Γεωμετρική ερμηνεία. 'Εστω ότι έχουμε το γράφημα μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης $f$ και θέλουμε να φέρουμε την εφαπτομένη στο σημείο $(x_0, f(x_0)).$ Ορίζουμε σαν εφαπτομένη του γραφήματος της $f$ στο $(x_0, f(x_0))$ την ευθεία που διέρχεται από αυτό το σημείο και έχει κλίση ίση με τον αριθμό $f'(x_0).$ Η εξίσωση της εφαπτομένης δίνεται από τη σχέση

$$y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0).$$