Θεώρημα μέσης τιμής

Θεώρημα 57 (Μέσης Τιμής)   Έστω $f : [a,b] \rightarrow \mathbb R$ συνεχής στο κλειστό διάστημα $[a,b]$ και παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα $(a,b)$. Τότε υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε

$$f'(x_0) = {{f(b) - f(a)}\over {b-a}}.$$

Η γεωμετρική ερμηνεία είναι ότι αν μετακινήσουμε τη χορδή που συνδέει τα σημεία $(a,f(a))$ και $(b,f(b))$ παράλληλα στον εαυτό της, τότε σε κάποιο σημείο $(x_0, f(x_0))$ θα γίνει εφαπτομένη του γραφήματός της.

Θεώρημα 58   (Rolle) Έστω $f : [a,b] \rightarrow \mathbb R$ συνεχής στο κλειστό διάστημα $[a,b]$, παραγωγίσιμη στο ανοιχτό διάστημα $(a,b)$ και $f(a) = f(b)$. Τότε υπάρχει $x_0 \in (a,b)$ τέτοιο ώστε

$$f'(x_0) = 0.$$

Αποδεικνύεται ότι τα παραπάνω δύο θεωρήματα είναι ισοδύναμα καθώς και ότι όλες οι προ"υποθέσεις κάτω από τις οποίες ισχύουν είναι απαραίτητες.

Πρόταση 59   (i) Αν $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$ με παράγωγο $0$ τότε η $f$ είναι σταθερή.

(ii) Αν $f$ και $g$ τέτοιες ώστε $f'(x) = g'(x), \, x\in (a,b),$ τότε $f(x) = g(x) + c,\; x\in (a,b)$ όπου $c\in \mathbb R$ είναι μία σταθερά.