Μονότονες συναρτήσεις

Ορισμός 60   Μια συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$ λέγεται:

(i) αύξουσα, αν για κάθε $x_1, \, x_2 \in (a,b)$ με $x_1 < x_2$ έχουμε $f(x_1) \leq f(x_2),$

(ii) γνήσια αύξουσα, αν για κάθε $x_1, \, x_2 \in (a,b)$ με $x_1 < x_2$ έχουμε $f(x_1) < f(x_2),$

(iii) φθίνουσα, αν για κάθε $x_1,x_2 \in (a,b)$ με $x_1 < x_2$ έχουμε $f(x_1) \geq f(x_2)$,

(iv) γνήσια φθίνουσα, αν για κάθε $x_1,x_2 \in (a,b)$ με $x_1 < x_2$ έχουμε $f(x_1) > f(x_2)$,

(v) μονότονη, αν είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

(vi) γνήσια μονότονη, αν είναι γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα.

Θεώρημα 61   'Εστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$.

(i) Η $f$ είναι αύξουσα (φθίνουσα) στο $(a,b)$, αν και μόνον αν $f'(x) \geq 0$ $(f'(x) \leq 0)$ για $x\in (a,b)$.

(ii) Αν $f'(x) > 0$ ($f'(x) < 0$) για $x\in (a,b)$ τότε η $f$ είναι γνήσια αύξουσα (γνήσια φθίνουσα) στο $(a,b)$ (το αντίστροφο δεν ισχύει).