Next: Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις.
Up: Παραγώγιση συναρτήσεων
Previous: Μονότονες συναρτήσεις
Ορισμός 62
'Εστω συνάρτηση
![$f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$](img538.gif)
.
Αν υπάρχει
![$x_0 \in (a,b)$](img440.gif)
τέτοιο
ώστε:
(i)
για κάθε
τότε λέμε ότι η συνάρτηση
έχει μέγιστο
στο σημείο
Γράφουμε
(ii)
για κάθε
τότε λέμε ότι η συνάρτηση
έχει ελάχιστο στο σημείο
Γράφουμε
Δεν είναι απαραίτητο μια συνάρτηση να έχει μέγιστο ή ελάχιστο.
Ορισμός 63
'Εστω συνάρτηση
![$f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$](img538.gif)
.
Αν υπάρχει
![$x_0 \in (a,b)$](img440.gif)
τέτοιο
ώστε
![$f(x) \leq f(x_0)$](img597.gif)
ή
![$f(x) \geq f(x_0)$](img600.gif)
για τα
![$x$](img12.gif)
που είναι σε κάποια περιοχή του
![$x_0$](img338.gif)
(δηλαδή σύνολο της μορφής
![$(x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon),\; \varepsilon > 0 ),$](img602.gif)
τότε λέμε ότι η συνάρτηση
![$f $](img421.gif)
έχει τοπικό μέγιστο ή τοπικό ελάχιστο αντίστοιχα, στο σημείο
![$x_0.$](img540.gif)
Θεώρημα 64
(Fermat) 'Εστω συνάρτηση
![$f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$](img538.gif)
.
Αν έχει
τοπικό ακρότατο στο σημείο
![$x_0$](img338.gif)
και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε
![$f'(x_0)= 0$](img603.gif)
.
Γεωμετρική ερμηνεία. Αν το
είναι σημείο τοπικού ακροτάτου μιας
παραγωγίσιμης συνάρτησης, τότε η εφαπτομένη του γραφήματός της στο
είναι
οριζόντια.
Θεώρημα 65
'Εστω παραγωγίσιμη συνάρτηση
![$f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$](img538.gif)
με
![$f'(x_0)= 0$](img603.gif)
για την
οποία υπάρχει η δεύτερη παράγωγος στο
![$x_0.$](img540.gif)
Αν
![$f''(x_0) > 0\; (f''(x_0) < 0)$](img604.gif)
το
![$x_0$](img338.gif)
είναι θέση τοπικού ελαχίστου (μεγίστου).
Antonis Tsolomitis
1999-11-11