Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις.

'Εστω παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$. Εξετάζουμε τη θέση του γραφήματος της συνάρτησης σε μια περιοχή ενός σημείου $x_0$ ως προς την εφαπτομένη του γραφήματος της συνάρτησης στο $(x_0, f(x_0)).$

Ορισμός 66   Αν το γράφημα της είναι πάνω (κάτω) από την εφαπτομένη σε μια περιοχή του σημείου $x_0,$ λέμε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή (κοίλη) στο $x_0$. 'Ενα σημείο $x_0$ λέγεται σημείο καμπής της $f,$ αν το γράφημά της σε ένα σύνολο της μορφής $(x_0 - \varepsilon, x_0)$ είναι πάνω (κάτω) από την εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της $f$ στο $(x_0, f(x_0))$ και στο σύνολο $(x_0, x_0 + \varepsilon)$ είναι κάτω (πάνω) από την εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της $f$ στο $(x_0, f(x_0))$.

Θεώρημα 67   'Εστω συνάρτηση $f : (a, b) \rightarrow \mathbb R$ για την οποία υπάρχει η δεύτερη παράγωγος στο $x_0 \in (a,b)$.

(i) Aν $f''(x_0) > 0 \;\;(f''(x_0) < 0),$ τότε η $f$ είναι κυρτή (κοίλη) στο $x_0$.

(ii) Αν το $x_0$ είναι σημείο καμπής τότε $f''(x_0) = 0.$