Ο τύπος του Taylor

Θεώρημα 71 (Taylor)   'Εστω συνάρτηση $f : [x_0, x] \rightarrow {\mathbb R},$ η οποία είναι $n+1$ φορές παραγωγίσιμη. Τότε έχουμε ότι

$$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) &+& {f'(x_0)\over 1!}(x - x_0) + {f''(x_0)\over ... ... n!}(x - x_0)^n + {f^{(n+1)}(c) \over {(n+1)!}}(x - x_0) ^{n+1}, \end{eqnarray*}$$

όπου $c$ κατάλληλος αριθμός μεταξύ των $x_0$ και $x.$

Το πολυώνυμο $T_n(x)$, όπου

$$T_n(x) = f(x_0) + {f'(x_0)\over 1!}(x - x_0) + {f''(x_0)\over 2!}(x - x_0)^2 + \ldots + {f^{(n)}(x_0)\over n!}(x - x_0)^n$$

λέγεται πολυώνυμο Taylor βαθμού $n$ της $f(x)$ στο σημείο $x_0$.

Για κάποιες συναρτήσεις που είναι άπειρες φορές παραγωγίσιμες, ισχύει και η ισότητα:

$$f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} {f^{(n)}(x_0)\over n!}(x - x_0)^n.$$

Αποδεικνύονται τα ακόλουθα:

$$\begin{eqnarray*} e^x &=& 1 + x + {x^2 \over 2!} + \ldots = \sum\limits_{n = 0}^... ...dots = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} x^n, \;\; \vert x\vert < 1. \end{eqnarray*}$$