Next: Η λογαριθμική συνάρτηση
Up: Παραγώγιση συναρτήσεων
Previous: Ο τύπος του Taylor
Υπάρχουν διάφοροι τρόποι ορισμού της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης,
έναν από τους οποίους αναφέρουμε εδώ.
Ορισμός 72
'Εστω
![$a\in \mathbb R, n\in \mathbb N$](img633.gif)
.
Ορίζουμε
Ορισμός 73
'Εστω
![$a\in \mathbb R - \{0\}, \, n\in \mathbb N$](img635.gif)
.
Ορίζουμε
Ορισμός 74
'Εστω
![$a > 0, \; n\in \mathbb N$](img637.gif)
.
Ορίζουμε
![$a^{\frac{1}{n}}$](img638.gif)
τον μοναδικό
θετικό αριθμό
![$x$](img12.gif)
τέτοιον ώστε
![$x^n = a$](img639.gif)
.
Ο αριθμός αυτός υπάρχει, είναι μοναδικός και λέγεται
![$n$](img41.gif)
-οστή ρίζα του
![$x$](img12.gif)
(βλέπε και άσκηση
1).
Ορισμός 75
'Εστω
![$\displaystyle \frac{m}{n} \in \mathbb Q,\; m \in \mathbb Z, \; n\in \mathbb N$](img640.gif)
.
Ορίζουμε
Ορισμός 76
'Εστω
![$a > 0,\;x\in\mathbb R$](img642.gif)
και
![$q_n \to x,\;n \to \infty,\;q_n\in\mathbb Q$](img643.gif)
.
Ορίζουμε
Η συνάρτηση
![$f(x) = a^x$](img645.gif)
ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση το
![$a$](img50.gif)
.
Αποδεικνύεται ότι το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι ανεξάρτητο από την ακολουθία
Πρόταση 77
Η εκθετική συνάρτηση είναι γνήσια μονότονη για
![$a \not = 1$](img647.gif)
και
παραγωγίσιμη στο
![$\mathbb R$](img2.gif)
.
Επίσης
και
Antonis Tsolomitis
1999-11-11