Η λογαριθμική συνάρτηση

Ορισμός 78   H λογαριθμική συνάρτηση με βάση $a, \; \log_a y, \; a\not=1,\;a>0,\; y>0$, ορίζεται ως η αντίστροφη συνάρτηση της εκθετικής $a^x$ με $a \not = 1$ (η οποία υπάρχει επειδή η εκθετική με $a \not = 1$ είναι γνήσια μονότονη). Οπότε

$$a^x = y \Leftrightarrow \log_a y = x.$$

Πρόταση 79   Η λογαριθμική συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ με

$$(\log_a x)' = {1\over \log a}{1\over x},$$

ειδικότερα

$$( \log x)' = {1\over x}.$$