Λύση

Η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb R- \{0\}$ με $f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$. Εξετάζουμε την παραγωγισιμότητα στο $0$ με τη βοήθεια του ορισμού. 'Εχουμε

$$\lim\limits_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x-0} =\lim\limits_{x ... ...in\frac{1}{x}}{x} =\lim\limits_{x \to 0} x\sin \frac{1}{x} = 0,$$

αφού $\vert x\sin \frac{1}{x}\vert \leq \vert x\sin \frac{1}{x}\vert\; \to 0,\; x \to 0.$ 'Αρα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και στο $0.$ Τελικά έχουμε

$$f'(x) = \left \{\begin{array}{ll} 2x \sin \frac{1}{x} - \cos... ...; x \not = 0, \\ 0 & \: \hbox{αν} \; \; x=0. \end{array}\right.$$

Από τη σχέση αυτή έχουμε ότι η $f'$ είναι συνεχής για $x \in \mathbb R -\{0\}$. Στο $0$ η $f$ δεν είναι συνεχής αφού δεν υπάρχει το όριο $\lim\limits_{x \to 0} f'(x)$ όπως μπορεί να διαπιστώσει κανείς με τρόπο ανάλογο της άσκησηs 6.

'Ασκηση 2 Υπόδειξη