Λύση

Θα πρέπει απαραίτητα η συνάρτηση που θα κατασκευάσουμε να είναι ασυνεχής σε ένα τουλάχιστο από τα σημεία $0,1$ (δεν είναι ικανό αυτό). 'Εστω

$$f(x) = \left \{\begin{array}{ll} 1 & \: \hbox{αν} \; \; 0< x \leq 1, \\ 0 & \: \hbox{αν} \; \; x=0, \end{array} \right.$$

τότε

$$\frac{f(1) - f(0)}{1- 0} = 1.$$

Αν ίσχυε το θεώρημα μέσης τιμής, θα έπρεπε να υπάρχει $\xi \in (0,1),$ τέτοιο ώστε $f'(\xi) = 1$. 'Ομως για κάθε $x \in (0,1)$ έχουμε $f'(x) = 0$. ’ρα η $f$ είναι ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης $f : [0,1] \rightarrow \mathbb R$, παραγωγίσιμης στο $(0,1)$ (σταθερή στο $(0,1)$), για την οποία δεν ισχύει το συμπέρασμα του θεωρήματος της μέσης τιμής.

'Ασκηση 11 Υπόδειξη