Λύση

Αν $x = a$ ή $x = b,$ τότε προφανώς ισχύει η ισότητα. 'Εστω $x\in (α, b)$. Επειδή η $f$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $[α, b],$ μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα $[a,x]$ και $[x,b]$. 'Εχουμε

$$\begin{eqnarray*} \frac{f(b) - f(x)}{b -x} = f'(\xi_1) \leq 1 &\Rightarrow& f(b) - f(x) \leq b -x \\ & \Rightarrow & f(b) - b \leq f(x) - x \end{eqnarray*}$$

και

$$\begin{eqnarray*} \frac{f(x) - f(a)}{x -a} = f'(\xi_2) \leq 1 &\Rightarrow & f(x) - f(a) \leq x -a \\ &\Rightarrow & f(x) - x \leq f(a) - a. \end{eqnarray*}$$

Λόγω της υπόθεσης έχουμε

$$f(b) - b = f(a) - a$$

και άρα από τις παραπάνω ανισότητες έχουμε

$$f(x) = f(a) +x -a, \;\; \forall x \in [α, b].$$

'Ασκηση 12 Υπόδειξη