Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$$f(x) = \frac{e^x}{x^e},\;\;\; x>0.$$

Έχουμε

$$f'(x) = \frac{e^xx^e - ex^{e-1} e^x} {x^{2e}} = \frac{e^xx^{e-1}(x - e)} {x^{2e}}.$$

Στο διάστημα $(e, +\infty)$ έχουμε $f'(x) > 0$ και άρα η συνάρτηση είναι γνήσια αυξούσα, ενώ $f'(e) = 0$. 'Αρα

$$e < x < \pi \Rightarrow f(e) \leq f(x) < f(\pi) \Rightarrow 1 < \frac{e^{\pi}}{{\pi}^e},$$

δηλαδή η ζητούμενη ανισότητα.

'Ασκηση 18 Υπόδειξη