Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$$f(x) = a^x_1 + a^x_2 + \ldots + a^x_n, \;\; x \; \in \mathbb R.$$

Έχουμε $f(x) \geq n = f(0), \; \forall x \in \mathbb R.$ Δηλαδή το $0$ είναι ολικό και τοπικό ελάχιστο. Επειδή η $f$ είναι παραγωγίσιμη με

$$f'(x) = a^x_1\log a_1 + a^x_2 \log a_2+ \ldots + a^x_n \log a_n, \;\; x \; \in \mathbb R,$$

θα πρέπει σύμφωνα με το Θεώρημα του Fermat, $f'(0) =0$ δηλαδή

$$f'(0) = \log a_1 + \log a_2+ \ldots + \log a_n = 0 \Leftrigh... ...=1}^{n}a_k = 0 \Leftrightarrow \prod\limits_{k=1}^{n} a_k = 1.$$

'Ασκηση 21 Υπόδειξη