Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$$f(x) = \left({{a+x}\over{b+x}}\right)^{b+x}, \;\; x > 0.$$

Είναι

$$f'(x) = f(x)\left[\log \left({{a+x}\over{b+x}}\right) + \frac{b-a}{a+x}\right].$$

Για να βρούμε τη μονοτονία της $f$, αρκεί να ελέγξουμε το πρόσημο της

$$g(x) = \log \left({{a+x}\over{b+x}}\right) + \frac{b-a}{a+x}, \;\;\; x\in (0, +\infty),$$

(είναι $f(x) > 0,\; x\in (0, +\infty)).$ 'Εχουμε

$$g'(x) = - \frac{(b-a)^2}{(a +x)^2(b+x)} < 0,\;\;\; x\in (0, +\infty).$$

’ρα η $g(x)$ είναι γνήσια φθίνουσα στο $(0, +\infty)$, οπότε (γιατί ;)

$$g(x) > \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0.$$

Επειδή $f'(x) = f(x) g(x),$ έχουμε ότι $f'(x) >0,$ δηλαδή η $f(x)$ είναι γνήσια αύξουσα στο $(0, +\infty)$ και άρα

$$f(x) > \lim\limits_{x \to 0} f(x) =({a\over b})^b.$$

'Ασκηση 22 Υπόδειξη