Λύση

Επειδή $f(x) > 0, \; x \in \mathbb R$ μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση

$$g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}, \; x \in \mathbb R.$$

Επειδή η $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, έχουμε ότι η $f$ και η $f'$ είναι παραγωγίσιμες και κατά συνέπεια και η $g(x)$. Είναι

$$g'(x) = \frac{f''(x)f(x) - [f'(x)]^2 }{f^2(x)}, \;\;\; x\in \mathbb R$$

και άρα λόγω της υπόθεσης $f''(x)f(x) - [f'(x)]^2 > 0, \; x\in \mathbb R,$ έχουμε ότι $g'(x) > 0.$ Σύμφωνα με γνωστό θεώρημα η $g(x)$ είναι γνήσια αύξουσα.

Στη συνέχεια θα δείξουμε την ανισότητα: $f({{x+y}\over 2}) \leq \sqrt{f(x)f(y)}, \; x,y \in \mathbb R.$

1oς τρόπος. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $x < y.$ Θέτοντας $z = \frac{x+y}{2},$ έχουμε $x < z < y$ και αρκεί να δείξουμε την ανισότητα

$$f(z) \leq \sqrt{f(x)f(2z - x)}, \; x < z,\; \; x, \, z \in \mathbb R,$$

(γιατί;) ή ισοδύναμα, λόγω της $f(x) > 0,$ την

$$0 \leq f(x)f(2z - x) - f^2(z), \; \; x < z,\;\; x, \, z \in \mathbb R.$$

Θεωρούμε την συνάρτηση

$$h(x) = f(x)f(2z - x) - f^2(z), \; x \in (-\infty, z].$$

Είναι

$$\begin{eqnarray*} h'(x) &=& f'(x)f(2z - x) - f(x)f'(2z - x) \\ &= &\frac{1}{f(x)... ...{1}{f(x)f(2z - x)} [g(x) - g(2z -x)] < 0, \; x \in (-\infty, z], \end{eqnarray*}$$

αφού $f(x) > 0$ και όπως έχουμε δει η $g$ είναι γνήσια αύξουσα ενώ $x \leq z.$ 'Αρα η $h(x)$ είναι γνήσια φθίνουσα, οπότε

$$h(x) \geq h(z) = 0,$$

σχέση που δίνει την ζητούμενη ανισότητα.

2os τρόπος. Επειδή $f(x) > 0, \; x \in \mathbb R,$ μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση

$$\varphi (u) = \log f(u), \; u \in [x,y],$$

(υποθέτουμε ότι $x< y$). Η $\varphi$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο $[x, y]$, οπότε μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα μέσης τιμής στα διαστήματα $[x, \frac{x+y}{2}]$, $[\frac{x+y}{2}, y]$ και έχουμε:

$$\begin{eqnarray*} \frac { \log f(\frac{x+y}{2}) - \log f(x)}{\frac{x+y}{2} - x} ... ...f(\xi_1)} = g(\xi_1), \; \xi_1\in \left(x, \frac{x+y}{2}\right), \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} \frac {\log f(y) - \log f(\frac{x+y}{2}) }{y - \frac{x+y}{2}} ... ...f(\xi_2)} = g(\xi_2), \; \xi_2\in \left(\frac{x+y}{2}, y\right). \end{eqnarray*}$$

Επειδή η $g$ είναι γνήσια αύξουσα και $\xi_1 < \frac{x+y}{2} < \xi_2,$ έχουμε ότι

$$\frac { \log f(\frac{x+y}{2}) - \log f(x)}{\frac{x+y}{2} - x... ...frac { \log f(y) - \log f(\frac{x+y}{2}) }{y - \frac{x+y}{2}}.$$

Κάνoντας τις σχετικές απλοποιήσεις καταλήγουμε στη ζητούμενη ανισότητα.

'Ασκηση 23 Υπόδειξη