'Ασκηση 24

Δίνεται συνάρτηση $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ δύο φορές παραγωγίσιμη, η οποία σε σημείο $x_0 \in \mathbb R$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το $0$ και ικανοποιεί τη σχέση:

$$f''(x) > 4(f'(x) - f(x)), \;\;\; \hbox{για κάθε} \;\;\; x \in \mathbb R.$$

$(i)$ Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g(x) = f(x) e^{-2x}$ είναι κυρτή στο $\mathbb R.$

$(ii)$ Να αποδείξετε ότι $f(x) \geq 0$ για κάθε $x \in \mathbb R.$ Υπόδειξη Λύση