Λύση

Είναι φανερό πως το όριο δεν υπολογίζεται με τη χρήση των ιδιοτήτων των ορίων. Το μετασχηματίζουμε κατάληλα, ώστε να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L' Hospital. Είναι

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} = \frac{\tan x - x }{x \tan x}$$

και

$$\lim\limits_{x \to 0} (\tan x - x ) = \lim\limits_{x \to 0} x \tan x = 0.$$

Υπολογίζουμε το όριο $$\lim\limits_{x \to 0}\frac{(\tan x - x)'}{(x \tan x)'}.$$ Επειδή

$$\frac{(\tan x - x)'}{(x \tan x)'} = \frac{ \frac{1}{\cos^2 x... ...os^2 x} + \tan x} = \frac{ \sin x}{ \frac{x}{\sin x} + \cos x}$$

και

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} =1,$$

έχουμε ότι

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{(\tan x - x)'}{(x \tan x)'} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{ \sin x}{ \frac{x}{\sin x} + \cos x} = 0.$$

Οπότε, σύμφωνα με τον κανόνα του L' Hospital, έχουμε ότι

$$\lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\right) = 0.$$

'Ασκηση 27 Υπόδειξη