next up previous
Next: 'Ασκηση 28 Up: 'Ασκηση 27 Previous: Υπόδειξη


Λύση

Είναι φανερό πως το όριο δεν υπολογίζεται με τη χρήση των ιδιοτήτων των ορίων. Το μετασχηματίζουμε κατάληλα, ώστε να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L' Hospital. Είναι

\begin{displaymath}\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} = \frac{\tan x - x }{x \tan x}\end{displaymath}

και

\begin{displaymath}\lim\limits_{x \to 0} (\tan x - x ) = \lim\limits_{x \to 0} x \tan x = 0.\end{displaymath}

Υπολογίζουμε το όριο $\displaystyle \lim\limits_{x \to 0}\frac{(\tan x - x)'}{(x \tan x)'}.$ Επειδή

\begin{displaymath}\frac{(\tan x - x)'}{(x \tan x)'} =
\frac{ \frac{1}{\cos^2 x...
...os^2 x} + \tan x} = \frac{ \sin x}{ \frac{x}{\sin x} +
\cos x}\end{displaymath}

και

\begin{displaymath}\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} =1,\end{displaymath}

έχουμε ότι

\begin{displaymath}\lim\limits_{x \to 0}
\frac{(\tan x - x)'}{(x \tan x)'} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{ \sin x}{ \frac{x}{\sin x} + \cos x} = 0.\end{displaymath}

Οπότε, σύμφωνα με τον κανόνα του L' Hospital, έχουμε ότι

\begin{displaymath}\lim\limits_{x \to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\right) = 0.\end{displaymath}

'Ασκηση 27 Υπόδειξη




Antonis Tsolomitis
1999-11-11