Λύση

Στον υπολογισμό του ορίου με βάση της ιδιότητες εμφανίζονται απροσδιόριστες μορφές γι' αυτό το μετασχηματίζουμε κατάλληλα ώστε να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L' Hospital. Είναι

$${\left({{a^x -1}\over {x(a-1)}}\right)}^{1\over x} =e^{g(x)},$$

με $$g(x) = \frac{1}{x} \log \left({{a^x -1}\over {x(a-1)}}\right)$$. Αρκεί να βρούμε το $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x).$ Στο όριο αυτό εμφανίζεται απροσδιοριστία της μορφής $\frac{\infty}{\infty}$ (γιατί;). Έχουμε

$$\frac{\left[\log \left({{a^x -1}\over {x(a-1)}}\right)\right]... ...a<1,$\cr\; \frac{a^x}{a^x-1} \log a - \frac{1}{x} \;&$1<a$.\cr}$$

Παίρνοντας όρια στην παραπάνω ισότητα έχουμε το ζητούμενο αποτέλεσμα.

'Ασκηση 29 Υπόδειξη