next up previous
Next: 'Ασκηση 13 Up: 'Ασκηση 12 Previous: Υπόδειξη


Λύση

Έστω $m,n \in \mathbb N,$ με $m < n.$ 'Εχουμε

\begin{eqnarray*}
\vert a_n - a_m\vert & = & \vert a_n - a_{n-1} + a_{n-1} - \ld...
...c^{n-1} + \ldots + c^{m} \leq c^{m} + \ldots = \frac{c^m}
{1-c}.
\end{eqnarray*}



Επειδή $0 < c <1$ έχουμε ότι η ακολοθία $\displaystyle \frac{c^m}{1-c}$ είναι μηδενική. 'Εστω $\varepsilon > 0.$ Υπάρχει $m_0 \in \mathbb N$ τέτοιο ώστε για κάθε $m \geq m_0$ να έχουμε $\displaystyle \frac{c^m}{1-c} < \varepsilon$ και άρα $\displaystyle \vert a_n - a_m\vert < \varepsilon$ για $m,n
\geq m_0.$ Άρα η ακολουθία είναι Cauchy και σύμφωνα με γνωστό θεώρημα συγκλίνει.

'Ασκηση 12 Υπόδειξη




Antonis Tsolomitis
1999-11-11