Λύση

Έστω $m,n \in \mathbb N,$ με $m < n.$ 'Εχουμε

$$\begin{eqnarray*} \vert a_n - a_m\vert & = & \vert a_n - a_{n-1} + a_{n-1} - \ld... ...c^{n-1} + \ldots + c^{m} \leq c^{m} + \ldots = \frac{c^m} {1-c}. \end{eqnarray*}$$

Επειδή $0 < c <1$ έχουμε ότι η ακολοθία $$\frac{c^m}{1-c}$$ είναι μηδενική. 'Εστω $\varepsilon > 0.$ Υπάρχει $m_0 \in \mathbb N$ τέτοιο ώστε για κάθε $m \geq m_0$ να έχουμε $$\frac{c^m}{1-c} < \varepsilon$$ και άρα $$\vert a_n - a_m\vert < \varepsilon$$ για $m,n \geq m_0.$ ’ρα η ακολουθία είναι Cauchy και σύμφωνα με γνωστό θεώρημα συγκλίνει.

'Ασκηση 12 Υπόδειξη