Λύση

Θεωρούμε το σύνολο $Α = \{x \in \mathbb R\,: \, x^2 < 2 \}$. To $Α$ είναι μη κενό αφού $1 \in A$. Επίσης είναι φραγμένο από το $2$. Πράγματι αν $x \in A$ με $x > 2$ τότε $x^2 > 4$ και άρα $4 < x^2 < 2$, άτοπο. Σύμφωνα με το αξίωμα της πληρότητας το $A$ έχει ελάχιστο άνω φράγμα, $\sup A = a \in \mathbb R$. Θα δείξουμε ότι $a > 0$ και ότι $a^2 = 2$. Επειδή $1 \in A$ είναι φανερό ότι $a > 0$.

(i) Έστω $a^2 < 2.$ Θα δείξουμε ότι υπάρχει $n \in \mathbb N$, τέτοιο ώστε $(a + \frac{1}{n})^2 < 2$, γεγονός που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι $\sup A = a.$ Πράγματι από την Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών έχουμε ότι υπάρχει $n \in \mathbb N$ τέτοιο ώστε $$0 < \frac{1}{n} < \frac{2 - a^2}{2a+1}$$ και άρα

$$\begin{eqnarray*} \displaystyle \Biggl(a + \frac{1}{n} \Biggr)^2 &=& a^2 + \frac... ...frac{1}{n})\\ & \leq & a^2 + \frac{2a+1}{n} < a^2 + 2 - a^2 = 2. \end{eqnarray*}$$

(ii) Έστω $a^2 > 2.$ Θα δείξουμε ότι υπάρχει $n \in \mathbb N$ τέτοιο ώστε $(a - \frac{1}{n})^2 > 2$, γεγονός που έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι $\sup A = a.$ Πράγματι από την Αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών αριθμών έχουμε ότι υπάρχει $n \in \mathbb N,$ τέτοιο ώστε $$0 < \frac{1}{n} < \frac{a^2 - 2}{2a}$$ και άρα

$$\displaystyle \Biggl(a - \frac{1}{n}\Biggr)^2 = a^2 - \frac{2a}{n} + \frac{1}{n^2} > a^2 - \frac{2a}{n} > a^2 - (a^2 - 2) = 2.$$

Από το αξίωμα της τριχοτομίας έχουμε ότι $a^2 = 2.$

'Ασκηση 2 Υπόδειξη