Έστω Μ το σύνολο των Χ με Χ· Α=0 (το επίπεδο της προηγούμενης άσκησης). Αν το διάνυσμα Ρ είναι τέτοιο ώστε Ρ· Α=α, θεωρούμε το σύνολο

Ρ+Μ={Ρ+Χ: ΧΜ}

δηλαδή την μετατόπιση του επιπέδου Μ κατά Ρ. Για ΧΜ έχουμε

Α· (Ρ+Χ)=Α· Ρ+Α· Χ=α+0=α,

άρα το σύνολο Ρ+Μ είναι υποσύνολο του ζητούμενου συνόλου Λ. Θα αποδείξουμε ότι Ρ+Μ=Λ. Πράγματι, έστω ΒΛ. Παρατηρούμε ότι αν γράψουμε το Β ως άθροισμα

Β=Ρ+(Β-Ρ),

τότε Β-ΡΜ επειδή Α· (Β-Ρ)=Α· Β-Α· Ρ=α-α=0.

[Επιστροφή]