Έστω U ένα υποσύνολο του Rⁿ. To U θα λέγεται ανοικτό αν γιά κάθε σημείο του Ρ υπάρχει μια ανοικτή μπάλα Β με κέντρο το Ρ (και θετική βέβαια ακτίνα) η οποία βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο U.

Παρατήρηση: Αν το U είναι ανοικτό και Ρ είναι ένα σημείο του, τότε ξεκινώντας από το Ρ μπορούμε να κινηθούμε προς οποιαδήποτε κατεύθυνση (για λίγο) παραμένοντας μέσα στο U. Ειδικώτερα, για μικρό h το σημείο (x+h, y) ευρίσκεται μέσα στο U άρα η f ορίζεται σ' αυτό.

Έστω U υποσύνολο του R², f: U® R και (x, y) σημείο του U. Αν το παρακάτω όριο υπάρχει

θα ονομάζεται μερική παράγωγος της f ως προς x στο σημείο (x, y) και θα συμβολίζεται με

Όμοίως ορίζεται η μερική παράγωγος της f ως προς y στο σημείο (x, y) η οποία θα συμβολίζεται με

Ορισμός: Έστω ότι η f έχει μερικές παραγώγους ως προς x και y σημείο (x, y). Το ανάδελτα ή gradient της f στο σημείο (x, y) είναι το διάνυσμα

To gradient της f θα συμβολίζεται και με gradf.

Mπορούμε να θεωρήσουμε το gradient της f σαν μια συνάρτηση η οποία στο σημείο (x, y) απεικονίζει το διάνυσμα gradf(x,y).

Τα παραπάνω εύκολα γενικεύονται και στην περίπτωση που η f είναι συνάρτηση n μεταβλητών.

ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη ορισμένη στο ανοικτό U και Χ σημείο του U. Eπειδή το U είναι ανοικτό το σημείο Χ+Η είναι μέσα στο U όταν το ||Η|| είναι αρκετά μικρό. Αυτό σημαίνει ότι η f ορίζεται στο σημείο

Ορισμός:   Η f θα λέγεται διαφορίσιμη στο Χ αν οι μερικές παράγωγοι υπάρχουν στο Χ και αν υπάρχει μια συνάρτηση g ορισμένη για μικρά Η τέτοια ώστε

και

Αν, για λόγους ευκολίας, αναπαραστήσουμε το

σαν

τότε η παραπάνω σχέση γράφεται

Τα παραπάνω εύκολα γενικεύονται στην περίπτωση που η f είναι συνάρτηση περισσοτέρων των δύο μεταβλητών.

Θα δούμε τώρα ποιά συνθήκη εγγυάται την διαφορισιμότητα μιάς συνάρτησης.

Θεώρημα:  Έστω ότι η f είναι ορισμένη σε ένα ανοικτό σύνολο U. Αν οι μερικές παράγωγοι της f υπάρχουν και είναι συνεχείς στο U τότε η f είναι διαφορίσιμη σε κάθε σημείο του U.

H διαφορισιμότητα σε ένα σημείο δίνει την συνέχεια της συνάρτησης σ΄αυτό το σημείο όπως φαίνεται παρακάτω.

Θεώρημα:  Έστω ότι η f είναι διαφορίσιμη στο ΧU. Τότε είναι συνεχής στο Χ.

ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

Έστω f ορισμένη στο ανοικτό U για την οποία υπάρχουν οι

στο (x, y). Αυτές είναι επίσης συναρτήσεις των x, y, οπότε μπορούμε να τις παραγωγίσουμε ως προς x ή y (αν βέβαια οι παράγωγοι υπάρχουν). Έτσι έχουμε τις παρακάτω συναρτήσεις

για τις οποίες θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό στο δεξί μέλος των παραπάνω ισοτήτων.

Εύλογο είναι το ερώτημα πότε ισχύει

στο οποίο δίνει απάντηση το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα:   Άν οι μερικές παράγωγοι

υπάρχουν και είναι συνεχείς τότε

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Έστω ΑRⁿ και f(X) = A·X, XRⁿ. Να υπολογίσετε το gradf.[Λύση]

2. Έστω f ορισμένη στο ανοικτό UR². Yποθέτουμε ότι υπάρχει διάνυσμα Α και συνάρτηση g ορισμένη για μικρό Η=(h, k) τέτοια ώστε

και

Να αποδείξετε ότι η f είναι διαφορίσιμη στο (x,y) και gradf(x,y)=A.[Υπόδειξη] [Λύση]

3. Nα υπολογίσετε τις μερικές παραγώγους μέχρι τάξης 2 της συνάρτησης  x^y.[Λύση]

4. Μια συνάρτηση τριών μεταβλητών ικανοποιεί την συνθήκη Laplace αν

Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις

ικανοποιούν την συνθήκη Laplace.[Λύση]

5. Έστω f  διαφορίσιμη συνάρτηση ορισμένη στο ανοικτό URⁿ.Yποθέτουμε ότι η f έχει ελάχιστο (ή μέγιστο) στο ΑU. Να δείξετε ότι gradf(A) = 0.[Λύση]

[Περιεχόμενα]