Θα χρησιμοποιήσουμε την άσκηση 6 στο κεφάλαιο 3 του Απειροστικού Λογισμού 3.

[Μετάβαση στην ασκ. 6 κεφ. 3, Απ. Λογ 3]

Για κάθε Α, Β στο Rⁿ ισχύει ||Α Β||² = ||Α||² ||Β||² – (Α· Β)², και έτσι η απόδειξη του (ι) είναι προφανής. Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f πάνω στην Σ με την χρήση του τύπου είναι

Για το (ιι) παρατηρούμε ότι αν c = 0 τότε

οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται

Στο (ιιι) θα χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω παραμετρικοποίηση για την σφαίρα

                        Φ(θ, φ) = (sinφcosθ, sinφsinθ, cosφ) (ρ = 1).

                                        0 £ φ £ π,     0 £ θ < 2π.

άρα το εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας είναι

[Επιστροφή]