Ένα σημείο Α στο επίπεδο μπορεί να αναπαρασταθεί κατά μοναδικό τρόπο από δύο αριθμούς (r, θ), όπου r η απόστασή του Α από την αρχή των αξόνων και θ[0, 2π) η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ του άξονα των x και της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και από το Α. Οι αριθμοί r, θ θα λέγονται πολικές συντεταγμένες του Α.

Αν το Α έχει καρτεσιανές συντεταγμένες (x, y) και πολικές συντεταγμένες (r, θ), εύκολα βλέπουμε ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις

Είναι δυνατόν μια περιοχή στο επίπεδο να περιγράφεται πιο απλά με την χρήση πολικών συντεταγμένων παρά με την χρήση καρτεσιανών συντεταγμένων. Για παράδειγμα ο δίσκος με κέντρο την αρχή και ακτίνα 1 περιγράφεται από την ανισότητα r £ 1.

Θεώρημα: Έστω Π η περιοχή στο xy-επίπεδο που περιγράφεται από τις ανισότητες

a £ θ £ b,             c £ r £ d

και Δ το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που επίσης περιγράφεται από τις παραπάνω ανισότητες αλλά αυτή τη φορά στο rθ-επίπεδο. Έστω f μια φραγμένη συνάρτηση ορισμένη στο Π η οποία είναι συνεχής στο Π εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο αριθμό από καμπύλες. Αν f₀(r, θ) = f(x, y) = f(rcosθ, rsinθ), τότε η f₀ είναι ολοκληρώσιμη στο Δ και

Παρατήρηση: Το παραπάνω θεώρημα ισχύει και στην περίπτωση περιοχών που περιγράφονται από πιο σύνθετες ανισότητες. Έστω γ, δ δύο συναρτήσεις ορισμένες στο διάστημα [α, β] με 0 £ γ(θ) £ δ(θ). Θεωρούμε την περιοχή Π στο xy-επίπεδο που αποτελείται από τα σημεία των οποίων οι πολικές συντεταγμένες ικανοποιούν τις σχέσεις

α £ θ £ β,             0 £ γ(θ) £ r £ δ(θ).

Αν Π₀ είναι η περιοχή στο rθ-επίπεδο που περιγράφουν οι παραπάνω ανισότητες, τότε

1. Να βρείτε το σύνολο των σημείων στο xy-επίπεδο που ικανοποιούν την σχέση

                                        r = acosθ, a>0. [Υπόδειξη] [Λύση]

2. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y) = xy² πάνω στην περιοχή Π που περιγράφεται από τις ανισότητες

                                x ³ 0, x² + y² ³ 1, x² + y² £ 4. [Λύση]

3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της περιοχής που περικλείει η καμπύλη r² = sinθ. [Λύση]

 [Περιεχόμενα]