Λύση άσκησης 1
Θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του
Green για να ολοκληρώσουμε πάνω σε ένα απλούστερο μονοπάτι.Έχουμε
Άρα
Έστω Β(t) = (cost, sint), t
[0,
2π), ο κύκλος με κέντρο την
αρχή και ακτίνα 1. Από το θεώρημα του Green
όπου Α- η Α αρνητικά προσανατολισμένη (δηλαδή, προσανατολισμένη με την φορά των δεικτών του ρολογιού) και Π η περιοχή που ευρίσκεται ανάμεσα στις Α, Β. Άρα
με F = (p, q). Eπειδή F(B(t)) = (sint, -cost) και B'(t) = (-sint, cost) το τελευταίο ολοκλήρωμα είναι ίσο με –2π.
