Έστω (x, y, z) οι Καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου στο χώρο. Για να βρούμε τις κυλινδρικές συντεταγμένες αυτού του σημείου μετατρέπουμε τις δύο πρώτες συντεταγμένες του x, y στις πολικές συντεταγμένες στο xy επίπεδο και αφήνουμε την τρίτη αμετάβλητη. Δηλαδή, αν

τότε οι κυλινδρικές συντεταγμένες του (x, y, z) είναι οι (r, θ, z).

Θεώρημα 1: Έστω Α μια περιοχή στο (x, y, z) επίπεδο και Α^* η ίδια περιοχή όπως αντιστοιχεί στις κυλινδρικές συντεταγμένες (r, θ, z). Αν η f είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση στην Α, τότε η συνάρτηση (r, θ, z) ® f(rcosθ, rsinθ, z) είναι ολοκληρώσιμη στην Α^* και

Έστω (x, y, z) οι Καρτεσιανές συντεταγμένες ενός σημείου στο χώρο. Θέτουμε

x = rcosθ, y = rsinθ

Τότε r = ρsinφ, όπου φ η γωνία μεταξύ του άξονα των z και του διανύσματος (x, y, z). Έτσι

οι οποίες είναι οι σφαιρικές συντεταγμένες του σημείου (x, y, z).

Θεώρημα 2: Έστω Α μια περιοχή στο (x, y, z) επίπεδο και Α^* η ίδια περιοχή όπως αντιστοιχεί στις σφαιρικές συντεταγμένες (ρ, φ, θ). Αν η f είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση στην Α, τότε η συνάρτηση (ρ, φ, θ) ® f(ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ) είναι ολοκληρώσιμη στην Α^* και

1. Να υπολογίσετε τον όγκο της σφαίρας

χρησιμοποιώντας σφαιρικές συντεταγμένες. [Υπόδειξη] [Λύση]

2. Nα υπολογίσετε το ολοκλήρωμα της συνάρτησης

πάνω στην περιοχή Α μεταξύ των σφαιρών ακτίνας 1 και ακτίνας a < 1. Ακολούθως να υπολογίσετε το όριο του ολοκληρώματοα καθώς το a πλησιάζει στο 0. [Λύση]

3. Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x, y, z) = y²z στην περιοχή Α η οποία ευρίσκεται μέσα στον κύλινδρο x + y £ 4 και μεταξύ των επιπέδων z = 0 και z = 3. [Λύση]

[Περιεχόμενα]