Πως γίνεται ένα σχήμα: στο επίπεδο xz ζωγραφίζουμε την υπερβολή x² – z² = 16 την οποία περιστρέφουμε γύρω από τον άξονα των z για να πάρουμε το υπερβολοειδές. (αυτό γίνεται διότι για σταθερό z, το σύνολο των x, y που ικανοποιούν την εξίσωση x² + y² – z² = 16 είναι ένας κύκλος).

Η προηγούμενη παρατήρηση μας οδηγεί σε μια παραμετρικοποίηση ως εξής: θεωρούμε σαν μια μεταβλητή το z. Τότε για μια δεδομένη τιμή του z έχουμε ότι x² + y² = 16 + z² άρα είναι φυσικό να θέσουμε

(ι) Θα υπολογίσουμε την εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου στο (4, 4, 4) με την χρήση της παραπάνω παραμετρικοποίησης. Παρατηρούμε ότι

και η εξίσωση του επιπέδου είναι η x + y - z = 4.

(ii) To κάθετο διάνυσμα στην ισοσταθμική επιφάνεια στο σημείο (4, 4, 4) είναι το f(4, 4, 4). Επειδή f = (2x, 2y, -2z), το κάθετο διάνυσμα σ΄αυτό το σημείο είναι το (8, 8, -8) και η εξίσωση του επιπέδου η 8x + 8y – 8z = (4, 4, 4)· (8, 8, -8) = 32 ή x + y –z = 4.

Άρα η εξίσωση του επιπέδου είναι –x – y +z = (-1, -1, 1)(4, 4, 4) = 4, ή x + y – z = 4.

[Επιστροφή]