Έστω Π μια περιοχή στο επίπεδο, τις μεταβλητές του οποίου θα ονομάζουμε u, v, και Φ : Π ® R³ μια συνάρτηση. Η παραμετρικοποιημένη επιφάνεια Σ που αντιστοιχεί στην Φ είναι η εικόνα της Π μέσω της Φ, δηλαδή Σ = Φ(Π). Θα γράφουμε

Φ(u, v) = (x(u, v), y(u,v), z(u,v)).

Aν η Φ είναι παραγωγίσιμη (στο σημείο (u', v') ή στο πεδίο ορισμού της), τότε η Σ θα λέγεται διαφορίσιμη (στο (u', v') ή στο πεδίο ορισμού της) και αν η Φ είναι C¹, τότε η Σ θα λέγεται C¹. (παραγωγίσιμη σημαίνει ότι οι συναρτήσεις x, y, z είναι παραγωγίσιμες, και C¹ σημαίνει ότι οι x, y, z είναι C¹ ).

Έστω ότι η Σ είναι διαφορίσιμη στο (u', v'). Θεωρούμε την συνάρτηση u ® Φ(u, v') η οποία είναι μια καμπύλη πάνω στην επιφάνεια. Το εφαπτόμενο διάνυσμα σ΄αυτή την καμπύλη στο σημείο u' είναι το

Ομοίως το εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη v ® Φ(u', v) στο σημείο v' είναι το

Θα λέμε ότι η Σ είναι λεία στο (u', v') αν A(u', v') B(u', v') 0, και λεία αν είναι λεία σε κάθε σημείο του Π.

Έστω Σ μια επιφάνεια λεία στο (u', v'). Το εφαπτόμενο επίπεδο στην Σ στο (u', v') είναι το επίπεδο που διέρχεται από το σημείο Φ(u', v', ) και είναι κάθετο στο A(u', v') B(u', v').

Φ(u, v) = (u, u² + v², v² )

στο σημείο (1, 1). [Λύση]

2. Να βρείτε μια παραμετρικοποίηση για το υπερβολοειδές x² + y² – z² = 16. Ακολούθως να υπολογίσετε την εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου στο (4, 4, 4) θεωρώντας ότι το υπερβολοειδές είναι

(ι) μια παραμετρικοποιημένη επιφάνεια (σύμφωνα με την παραμετρικοποίηση που έχετε βρεί).

(ιι) μια ισοσταθμική επιφάνεια της συνάρτησης f(x, y, z) = x² + y² – z².

(iii) το γράφημα της συνάρτησης

   [Λύση]

[Περιεχόμενα]