Υπόδειξη

Έστω $x>\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}.$ Υπάρχει $N \in \ \mathbb N \ \hbox{ώστε } \frac{a_{n+1}}{a_n}<x\ \hbox{για} \ n \geq N.$ Άρα

$$\frac{a_{n+1}}{a_N} = \frac{a_{N+1}}{a_N} \cdot \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}} \cdots \frac{a{n+1}}{a_n} < x^{n-N+1}.$$

Οπότε $\sqrt[n+1]{a_{n+1}}<x \cdot x^{-\frac{N}{n+1}} \sqrt[n+1]{a_N}$ και $\limsup \sqrt[n+1]{a_{n+1}}\leq x$.

Άσκηση 9 Λύση