Άσκηση 9

Αν $\{x_n\}$ είναι ακολουθία θετικών αριθμών αποδείξτε οτι

$$\liminf \frac{a_{n+1}}{a_n}\leq \liminf \sqrt[n]{a_n}\leq \limsup \sqrt[n]{a_n}\leq \limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}.$$

Συμπεράνετε ότι όταν το κριτήριο λόγου δείχνει σύγκλιση σειράς το ίδιο κάνει και το κριτήριο ρίζας και όταν το κριτήριο ρίζας δεν δείχνει τίποτε το ίδιο κάνει και το κριτήριο λόγου. Υπόδειξη Λύση