Σειρές πραγματικών αριθμών

Ορισμός 21   Αν έχουμε μια ακολουθία $\{a_n\}$ στο $\mathbb R$ θεωρούμε την ακολουθία $s_1=a_1\ ,\ s_2=a_1+a_2 \ ,\ s_3=a_1+a_2+a_3, \cdots \ ,\ s_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n, \cdots$ Αν η $\{ s_n\}$ συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό $s$ τότε γράφουμε $s=a_1+a_2+ \cdots +a_n+ \cdots$ Χρησιμοποιούμε επίσης τις συντομεύσεις: $s_n= \sum _{k=1} ^ n {a_n}$ και αν η $\{ s_n\}$ συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό $s$, $s= \sum _{k=1}^\infty a_k$. Το σύμβολο $\sum _{k=1}^\infty a_k$ ονομάζεται σειρά της $a_k$. Αν μια σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό και απαλείψουμε ένα πεπερασμένο πλήθος όρων της, τότε πάλι θα συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό. Το ίδιο και αν αλλάξουμε ένα πεπερασμένο πλήθος όρων της.

Πρόταση 22  
(α)    Αν $\sum _{k=1}^\infty a_k = s \ \hbox{τότε} \ a_k \rightarrow 0$
(β)    Αν η $\sum _{k=1}^\infty a_k$ συγκλίνει τότε $\forall\ \varepsilon >0$ υπάρχει $N \in \mathbb N$ ώστε

$$\arrowvert \sum _{k=N+1}^\infty a_k \arrowvert<\varepsilon .$$

Μερικά παραδείγματα:
(α)    Η γεωμετρική σειρά $\sum_{k=0}^\infty x^k$ όπου $x\in \mathbb R, (x^0=1)$ συγκλίνει αν και μόνο αν $\vert x\vert<1$ τότε $\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}.$
(β)    Τηλεσκοπικές σειρές $\sum _{k=1}^\infty a_k$ όπου $a_k=b_{k+1}-b_k\ ,\ k \in \mathbb N$. Τότε η $\sum _{k=1}^\infty a_k$ συκλίνει αν και μόνο αν η ακολουθία $(b_k)$ συγκλίνει και μάλιστα ισχύει $\sum_{k=1}^\infty a_k\ =\ \sum_{k=1}^\infty (b_{k+1} - b_k) \ =\lim b_k-b1.$

Θεώρημα 23 (Κριτήριο Cauchy)   . Έστω η σειρά $\sum _{k=1}^\infty a_k$. Αυτή συγκλίνει αν και μόνο αν ισχύει το εξής: $\forall\ \varepsilon>0\ \exists \ N=N(\varepsilon) \ \in \mathbb N$ ώστε $N \leq m<n \Longrightarrow \arrowvert \sum_{k=m+1}^\infty a_k \arrowvert\ =\ \arrowvert a_{m+1}+ \cdots + a_n \arrowvert < \varepsilon$. Με χρήση του κριτηρίου Cauchy μπορεί να δείξει κανείς ότι η αρμονική σειρά $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$ αποκλίνει.

Θεώρημα 24   Έστω η σειρά $\sum _{k=1}^\infty a_k$ με $a_k \geq 0\ ,\ k \in \mathbb N$ και $s_n=\sum_{k=1}^\infty a_k$. Η σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν η $\{ s_n\}$ είναι άνω φραγμένη. Αν η $\{ s_n\}$ δεν είναι άνω φραγμένη τότε $\sum_{k=1}^\infty a_k=+\infty$. Συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι ότι η σειρά $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$ συγκλίνει. Μάλιστα $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}=e$.

Πρόταση 25 (Κριτήριο συμπύκνωσης του Cauchy)   . Αν η σειρά $\sum _{k=1}^\infty a_k$ έχει όρους που φθίνουν προς το μηδέν τότε αυτή συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά $\sum_{k=0}^\infty 2^k \cdot a_{2^k}$ συγκλίνει. Η πρόταση αυτή εύκολα δίνει ότι η σειρά $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\varrho}\ ,\ \varrho \in \mathbb R$ συγκλίνει αν και μόνο αν $\varrho>1$.

Ορισμός 26   Λέμε οτι μια σειρά $\sum _{k=1}^\infty a_k$ συγκλίνει απολύτως αν η $\sum_{k=1}^\infty \vert a_k\vert$ συγκλίνει. Λέμε οτι συγκλίνει υπό συνθήκη αν συγκλίνει αλλά δεν συγκλίνει απολύτως.

Θεώρημα 27 (Σύγκριση σειρών)   Έστω οι σειρές $\sum_{k=1}^\infty a_k ,\ \sum_{k=1}^\infty b_k$ με $b_k>0\ (k \in \mathbb N)$

(α)    Αν υπάρχει αριθμός $M$ ώστε $\vert a_k\vert\leq M \cdot b_k\ ,\ k\in \mathbb N$, τότε αν η $\sum_{k=1}^\infty b_k$ συγκλίνει, θα συγκλίνει απολύτως η $\sum _{k=1}^\infty a_k$.
(β)    Αν η $\{\frac{a_k}{b_k}\}$ συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό, τότε αν η $\sum_{k=1}^\infty b_k$ συγκλίνει θα συγκλίνει απολύτως η $\sum _{k=1}^\infty a_k$.

Θεώρημα 28 (Κριτήριο λόγου D' Alembert)   . Έστω η σειρά $\sum _{k=1}^\infty a_k$ με μη μηδενικούς όρους.

(α)    Αν $\limsup \arrowvert \frac{a_{k+1}}{a_k} \arrowvert <1$ τότε η $\sum _{k=1}^\infty a_k$ συγκλίνει απολύτως
(β)    Αν $\liminf \arrowvert \frac{a_{k+1}}{a_k} \arrowvert >1$ τότε η σειρά $\sum _{k=1}^\infty a_k$ αποκλίνει
(γ)    Αν $\liminf \arrowvert \frac{a_{k+1}}{a_k} \arrowvert \leq 1 \leq \limsup \arrowvert \frac{a_{k+1}}{a_k} \arrowvert$ τότε δεν υπάρχει συμπέρασμα.

Θεώρημα 29 (Κριτήριο ρίζας του Cauchy)   . Έστω η σειρά $\sum _{k=1}^\infty a_k$.

(α)    Αν $\limsup \sqrt [k] {\vert a-k\vert} <1$ τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως
(β)    Αν $\limsup \sqrt [k]{\vert a_k\vert}>1$ τότε η σειρά αποκλίνει
(γ)    Αν $\limsup \sqrt [k] {\vert a_k\vert}=1$ τότε δεν υπάρχει συμπέρασμα

Θεώρημα 30 (Dirichlet)   Έστω δυο ακολουθίες $\{a_n\}\ ,\ \{b_n\}$ με τις ιδιότητες
(α)    Η $\{b_n\}$ φθίνει προς το μηδέν
(β)    Η $s_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n$ είναι φραγμένη: $\vert s_n\vert \leq M \ ,\ n \in \mathbb N$. Τότε η $\sum_{k=1}^\infty {a_n}{b_n}$ συγκλίνει. Συνήθως αυτό το θεώρημα χρησιμοποιείται στις εναλλάσουσες σειρές όπου $a_n=(-1)^n$.