Next: Άσκηση 1
Up: No Title
Previous: Λύση
Ορισμός 21
Αν έχουμε μια ακολουθία
![$\{a_n\}$](img482.gif)
στο
![$\mathbb R$](img3.gif)
θεωρούμε την ακολουθία
![$s_1=a_1\ ,\ s_2=a_1+a_2 \ ,\ s_3=a_1+a_2+a_3, \cdots \ ,\ s_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n, \cdots$](img483.gif)
Αν η
![$\{ s_n\}$](img484.gif)
συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό
![$s$](img485.gif)
τότε γράφουμε
![$s=a_1+a_2+ \cdots +a_n+ \cdots $](img486.gif)
Χρησιμοποιούμε επίσης τις συντομεύσεις:
![$s_n= \sum _{k=1} ^ n {a_n}$](img487.gif)
και αν η
![$\{ s_n\}$](img484.gif)
συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό
![$s$](img485.gif)
,
![$s= \sum _{k=1}^\infty a_k$](img488.gif)
.
Το σύμβολο
![$\sum _{k=1}^\infty a_k$](img489.gif)
ονομάζεται
σειρά της
![$a_k$](img490.gif)
.
Αν μια σειρά συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό και απαλείψουμε ένα πεπερασμένο πλήθος όρων της, τότε πάλι θα συγκλίνει σε πραγματικό
αριθμό. Το ίδιο και αν αλλάξουμε ένα πεπερασμένο πλήθος όρων της.
Πρόταση 22
(α) Αν
(β) Αν η
![$\sum _{k=1}^\infty a_k$](img489.gif)
συγκλίνει τότε
![$\forall\ \varepsilon >0$](img90.gif)
υπάρχει
![$N \in \mathbb N$](img492.gif)
ώστε
Μερικά παραδείγματα:
(α) Η γεωμετρική σειρά
όπου
συγκλίνει αν και μόνο αν
τότε
(β) Τηλεσκοπικές σειρές
όπου
.
Τότε η
συκλίνει αν και μόνο αν η ακολουθία
συγκλίνει και μάλιστα ισχύει
Θεώρημα 23 (Κριτήριο Cauchy)
. Έστω η σειρά
![$\sum _{k=1}^\infty a_k$](img489.gif)
.
Αυτή συγκλίνει αν και μόνο αν ισχύει το εξής:
![$\forall\ \varepsilon>0\ \exists \ N=N(\varepsilon) \ \in \mathbb N$](img501.gif)
ώστε
![$N \leq m<n \Longrightarrow \arrowvert \sum_{k=m+1}^\infty a_k \arrowvert\ =\ \arrowvert a_{m+1}+ \cdots +
a_n \arrowvert < \varepsilon$](img502.gif)
.
Με χρήση του κριτηρίου Cauchy μπορεί να δείξει κανείς ότι η
αρμονική σειρά
![$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$](img503.gif)
αποκλίνει.
Θεώρημα 24
Έστω η σειρά
![$\sum _{k=1}^\infty a_k$](img489.gif)
με
![$a_k \geq 0\ ,\ k \in \mathbb N$](img504.gif)
και
![$s_n=\sum_{k=1}^\infty a_k$](img505.gif)
.
Η σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν η
![$\{ s_n\}$](img484.gif)
είναι άνω φραγμένη. Αν η
![$\{ s_n\}$](img484.gif)
δεν είναι άνω φραγμένη τότε
![$\sum_{k=1}^\infty a_k=+\infty $](img506.gif)
.
Συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι ότι η σειρά
![$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$](img507.gif)
συγκλίνει. Μάλιστα
![$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}=e$](img508.gif)
.
Πρόταση 25 (Κριτήριο συμπύκνωσης του Cauchy)
. Αν η σειρά
![$\sum _{k=1}^\infty a_k$](img489.gif)
έχει όρους που φθίνουν
προς το μηδέν τότε αυτή συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά
![$\sum_{k=0}^\infty 2^k \cdot a_{2^k}$](img509.gif)
συγκλίνει.
Η πρόταση αυτή εύκολα δίνει ότι η σειρά
![$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\varrho}\ ,\ \varrho \in \mathbb R$](img510.gif)
συγκλίνει αν και μόνο αν
![$\varrho>1$](img511.gif)
.
Ορισμός 26
Λέμε οτι μια σειρά
![$\sum _{k=1}^\infty a_k$](img489.gif)
συγκλίνει απολύτως αν η
![$\sum_{k=1}^\infty \vert a_k\vert$](img512.gif)
συγκλίνει.
Λέμε οτι συγκλίνει υπό συνθήκη αν συγκλίνει αλλά δεν συγκλίνει απολύτως.
Θεώρημα 27 (Σύγκριση σειρών)
Έστω οι σειρές
![$\sum_{k=1}^\infty a_k ,\ \sum_{k=1}^\infty
b_k$](img513.gif)
με
(α) Αν υπάρχει αριθμός
ώστε
,
τότε αν η
συγκλίνει, θα συγκλίνει
απολύτως η
.
(β) Αν η
συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό, τότε αν η
συγκλίνει θα συγκλίνει απολύτως η
.
Θεώρημα 28 (Κριτήριο λόγου D' Alembert)
. Έστω η σειρά
![$\sum _{k=1}^\infty a_k$](img489.gif)
με μη μηδενικούς όρους.
(α) Αν
τότε η
συγκλίνει απολύτως
(β) Αν
τότε η σειρά
αποκλίνει
(γ) Αν
τότε
δεν υπάρχει συμπέρασμα.
Θεώρημα 29 (Κριτήριο ρίζας του Cauchy)
. Έστω η σειρά
![$\sum _{k=1}^\infty a_k$](img489.gif)
.
(α) Αν
τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως
(β) Αν
τότε η σειρά αποκλίνει
(γ) Αν
τότε δεν υπάρχει συμπέρασμα
Θεώρημα 30 (Dirichlet)
Έστω δυο ακολουθίες
![$\{a_n\}\ ,\ \{b_n\}$](img524.gif)
με τις ιδιότητες
(α) Η
![$\{b_n\}$](img525.gif)
φθίνει προς το μηδέν
(β) Η
![$s_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n$](img526.gif)
είναι φραγμένη:
![$\vert s_n\vert \leq M \ ,\ n \in \mathbb N$](img527.gif)
.
Τότε η
![$\sum_{k=1}^\infty {a_n}{b_n}$](img528.gif)
συγκλίνει.
Συνήθως αυτό το θεώρημα χρησιμοποιείται στις
εναλλάσουσες σειρές όπου
.
root
1999-07-29