Λύση

(α)    Αν $x=0$ προφανώς συγκλίνει. Αν $x\neq 0$ με το κριτήριο του λόγου :

$$\frac{\vert a_{k+1} \vert}{\vert a_k \vert} =\frac{(k+1)^3 \v... ...t( 1+\frac1{k} \right)^3 \vert x\vert \rightarrow \vert x\vert.$$

Αν $\vert x\vert<1$ η σειρά συγκλίνει. Αν $\vert x\vert>1$ αποκλίνει. Αν $x=\pm 1$ τότε $\vert a_k\vert =k^3 \rightarrow +\infty$ άρα η σειρά αποκλίνει. Δηλαδή η $\sum_{k=0}^\infty k^3x^k$ συγκλίνει απολύτως αν $\vert x\vert<1$.

Με το κριτήριο ρίζας

$$\sqrt[k]{\vert a_k \vert}=\left( \sqrt[k]{k} \right)^3 \vert x\vert\rightarrow \vert x\vert$$

και συμεχίζουμε όπως πρίν.

(β)     Με το κριτήριο της ρίζας:

$$\sqrt[k]{\vert a_k \vert}=\frac{2\vert x\vert}{\sqrt[k]{k!}} \rightarrow 0<1 .$$

Άρα η σειρά συγκλίνει όποιο και αν είναι το $x \in \mathbb R$.

(γ)    Με το κριτήριο της ρίζας:

$$\sqrt[k]{\vert a_k \vert}=\frac{2\vert x\vert}{\sqrt[k]{k^2}} \rightarrow 2\vert x\vert .$$

Αν $\vert x\vert<1/2$ τότε η σειρά συγκλίνει απολύτως. Αν $\vert x\vert>1/2$ τότε η σειρά αποκλίνει. Αν $x=1/2$ προκύπτει η $\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}$ που συγκλίνει, ενώ αν $x=-1/2$ προκύπτει η $\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2}$ που συγκλίνει απολύτως.

Άρα η σειρά $\sum_{k=1}^\infty \frac{2^kx^k}{k^2}$ συγκλίνει αν $-1/2 \leq x\leq 1/2$. Άσκηση 2 Υπόδειξη