Λύση

Χρησιμοποιούμε απαγωγή στο άτοπο. Υποθέτουμε οτι η $f^{-1}$ δεν είναι συνεχής σε κάποιο $b\in B$. Τότε υπάρχουν $\varepsilon >0$ και μία ακολουθία $\{b_k\}$ στο $B$ ώστε

$$b_k \rightarrow b\qquad\hbox{αλλά}\qquad \rho\left( f^{-1} (b_k), f^{-1} (b)\right) \geq \varepsilon .$$

Θέτουμε $a_k =f^{-1} (b_k) \in A$. Το $A$ είναι συμπαγές, άρα υπάρχει υποακολουθία $\{ a_{p_k} \}$ της $\{ a_k \}$ που συγκλίνει σε κάποιο $a\in A$. Από τη συνέχεια της $f$ έχουμε $b_{p_k} =f(a_{p_k} ) \rightarrow f(a)$. Όμως $b_k \rightarrow b$ άρα $b_{p_k} \rightarrow b$. Από τη μοναδικότητα του ορίου, $f(a)=b$ δηλαδή $a=f^{-1} (b)$.

Έχουμε $f^{-1} (b_{p_k} ) =a_{p_k} \rightarrow a=f^{-1} (b)$. Αυτό είναι άτοπο αφού

$$\rho \left( f^{-1} (b_{p_k} ), f^{-1} (b) \right) \geq \varepsilon$$

για κάθε $p_k$.

Άσκηση 7 Υπόδειξη