Λύση

Η $\sum _{k=1} ^\infty \frac{\sqrt{a_k}}{k}$ έχει θετικούς όρους να δείξουμε οτι τα μερικά της αθροίσματα είναι ομοιόμορφα φραγμένα. Έστω $m\in \mathbb N$. Από την ανισότητα Cauchy - Schwartz παίρνουμε

$$\begin{eqnarray*} {s_m = \sum _{k=1} ^m \frac{\sqrt{a_k}}{k} } &\leq & {\left( \... ... \frac{1}{k^2} \right)^{\frac{1}{2}} \leq \sqrt{M_1}\sqrt{M_2} } \end{eqnarray*}$$

όπου $M_1 = \sum _{k=1} ^m a_k\ ,\ M_2 = \sum _{k=1} ^m \frac{k}{k^2}$. Έχουμε λοιπόν $s_m \leq M$ για κάθε $m\in \mathbb N$, όπου $M= \sqrt{M-1}{\sqrt{M_2}}$. Έπεται οτι η $\sum _{k=1} ^\infty \frac{\sqrt{a_k}}{k}$ συγκλίνει.

Άσκηση 7 Υπόδειξη