Άσκηση 8

Έστω $a_n>0 \ ,\ n\in\mathbb N\ ,\ s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ και ότι η $\sum _{k=1}^\infty a_k$ αποκλίνει.
(α)    Αποδείξτε οτι η $\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{1+a_k}$ αποκλίνει.
(β)    Αποδείξτε οτι για $1\leq m<n: \frac{a_{m+1}}{s_{m+1}}+ \cdots+\frac{a_n}{s_n}\geq 1- \frac{s_m}{s_n}$
(γ)    Αποδείξτε οτι $\frac{a_n}{{s_n}^2}\leq \frac{1}{s_{n-1}}-\frac{1}{s_n}$ και συμπεράνετε οτι η $\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{{s_k}^2}$ συγκλίνει. Υπόδειξη Λύση