Λύση

Απαγωγή σε άτοπο: Υποθέτουμε οτι η $\sum ^\infty _{k=1} ka_k$ συγκλίνει και θέτουμε $\beta _k =ka_k$. Θα δείξουμε οτι η $\sum ^\infty _{k=1} α_κ =\sum ^\infty _{k=1} \frac{\beta _k}{k}$ συγκλίνει, χρησιμοποιώντας το κριτήριο του Cauchy: Έστω $\varepsilon >0$. Τότε, αν $m<n$ έχουμε

$$\begin{eqnarray*} \frac{\beta _{m+1}}{m+1} + \frac {\beta _{m+2}}{m+2}&+&\cdots ... ...\right) \\ &+&( \beta _{m+1} + \cdots +\beta _n ) \frac{1}{n} . \end{eqnarray*}$$

Αφού η $\sum \beta_k$ συγκλίνει, υπάρχει $n, \in \mathbb N$ ώστε αν $k_2>k_1 \geq n_0$ τότε $\vert\beta _{k_1+1}+\cdots + \beta _{k_2}\vert<\varepsilon$. Τότε, αν $n>m\geq n_0$ παίρνουμε $\vert\sum _{k=m+1} ^n \frac{\beta _k}{k} \vert \leq \vert\beta _{m+1}\vert\left... ...n \frac{1}{n}=\varepsilon \left(\frac{1}{m+1} -\frac{1}{n} \right)<\varepsilon$.

Από το κριτήριο Cauchy, η $\sum_{a_k} = \sum \frac{\beta _k}{k}$ συγκλίνει. Άτοπο. Η απόδειξη δίνει κάτι πιο γενικό: Αν $\sum _{\beta _k}$ συκλίνει, και $\gamma _k\geq 0$ μονότονη και φραγμένη, τότε η $\sum \beta _k \gamma _k$ συγκλίνει.

Άσκηση 10 Υπόδειξη