Ακολουθίες συναρτήσεων

Έστω συνάρτηση $f$ και ακολουθία συναρτήσεων $\{ f_n\}$, όπου όλες οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε ένα μη κενό σύνολο $Α$ και παίρνουν τιμές $f:A \rightarrow \mathbb R\ ,\ f_n :A\rightarrow \mathbb R\ ,\ n\in \mathbb N.$

Ορισμός 31   Λέμε οτι η $\{ f_n\}$ συγκλίνει κατά σημείο στην $f$ στο $A$ και γράφουμε $f_n \longrightarrow f$ ή $f_n \stackrel{\hbox{\footnotesize κ.σv.}}{\longrightarrow}$ στο $A$ αν για κάθε $t\in A$ η ακολουθία των αριθμών $\{ f_n (t)\}$ συγκλίνει στον αριθμό $f(t)$, δηλαδή $f_n(t)\rightarrow f(t)$ για κάθε $t\in A$.

Η σύγκλιση συναρτήσεων κατά τον προηγούμενο ορισμό δεν διατηρεί διάφορες ιδιότητες. Για παράδειγμα αν οι $f_n$ είναι συνεχείς και $f_n\rightarrow f$ στο $A$ δεν μπορούμε να συμπεράνουμε οτι και η $f$ είναι συνεχής. Για παράδειγμα έστω $f_n:[0 1] \rightarrow \mathbb R\ \hbox{με}\ f_n(t)=t^n$. Φανερά οι $f_n$ είναι όλες συνεχείς όμως $f_n\rightarrow f$ με

$$f(t)= \left\{ \begin{array}{ll} 0, & 0\leq t<1 \\ 1, & t=1 \end{array} \right.$$

η οποία είναι ασυνεχής. Ομοίως αν $f_n\rightarrow f$ δεν συνεπάγεται ούτε οτι $f^\prime_n \rightarrow f^\prime$ ούτε οτι $\int^b_a f_n \longrightarrow \int^b_a f$. Στο προηγούμενο παράδειγμα οι $f^\prime_n$ υπάρχουν ενώ η $f$ δεν είναι καν παραγωγίσιμη ή η $f_n(t)=\frac{1}{n}\sin(nt)$ με πεδίο ορισμού το $[0, 2\pi]$ συγκλίνει στο μηδέν (αφού $\vert f_n(t)\vert \leq \frac{1}{n})$ αλλά $f^\prime_n(t)=\cos (nt)$ δεν συγκλίνει στο $0=0^\prime$. Τέλος αν $f_n:[0 1]\rightarrow \mathbb R$ με

$$f_n(t)= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{(n+1)t-1}, & \fr... ...leq 1 \\ n^2t, & 0\leq t \leq \frac{1}{n} \end{array}\right.$$

τότε $f_n \rightarrow 0$ αλλά $\int^1_0 f_n(t)dt=1$ δεν συγκλίνει στο $0=\int^1_0 0dt.$

Ορισμός 32   Έστω μια ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}\ \hbox{και}\ f\ ,\ \hbox{με}\ f_n:A \rightarrow \mathbb R\ ,\ f:A\rightarrow \mathbb R$. Λέμε οτι η $\{ f_n\}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f$ στο $A$ και συμβολίζουμε $f_n \rightrightarrows f$ ή $f_n \stackrel{\hbox{\footnotesize ο.μ.}}{\rightarrow f}$ στο $A\ \hbox{αν}\ \varrho (f_n,f) \rightarrow 0$ δηλαδή $\sup_{t\in A} \vert f_n(t) - f(t)\vert\rightarrow 0.$

Ορισμός 33   Μια ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}\ ,\ f_n:A \rightarrow \mathbb R$ την λέμε ομοιόμορφα φραγμένη αν υπάρχει $M$ που να είναι κοινό φράγμα για όλες τις $f_n$. Δηλαδή $\vert f_n (t)\vert \leq Μ \ \hbox{για κάθε}\ t\in A,\ \hbox{για κάθε}\ n \in \mathbb N$.

Θεώρημα 34   Έστω $A$ υποσύνολο ενός μετρικού χώρου $(X, \varrho)\ \hbox{και}\ f_n:A \rightarrow\mathbb R\ ,\ n\in\mathbb N\ ,\ f:A... ...bb R\ \hbox{και}\ t_0 \in A.\ \hbox{Αν}\ f_n \rightrightarrows f\ \hbox{στο}\ A$ και κάθε $f_n$ είναι συνεχής στο $t_0$, τότε και η $f$ είναι συνεχής στο $t_0$. Άρα, αν κάθε $f_n$ είναι συνεχής στο $A$, τότε και η $f$ είναι συνεχής στο $A$.

Θεώρημα 35   Έστω οτι κάθε $f_n:[a,b]\rightarrow\mathbb R$ είναι Riemann-ολοκληρώσιμη στο $[a,b]\ \hbox{και οτι}\ f_n\rightrightarrows f\ \hbox{στο}\ [a,b]$. Τότε η $f$ είναι Reimann-ολοκληρώσιμη στο $[a,b]\ \hbox{και}\ \int^b_a f_n \rightarrow \int^b_a f.$

Θεώρημα 36   Έστω $f:[a,b]\rightarrow\mathbb R\ ,\ n\in \mathbb N\ ,\ g:[a,b]\rightarrow \mathbb R.$ Έστω οτι κάθε $f_n$ είναι παραγωγίσιμη στο $[a, b]$ και η παράγωγος $f^\prime_n$ είναι συνεχής στο $[a, b]$. Αν
(α)     $f^\prime_n \rightrightarrows g\ \hbox{στο}\ [a,b]$
(β)    η $\{f_n(t_0)\}$ συγκλίνει για τουλάχιστον ένα $t_0\in[a,b]$ τότε η $\{ f_n\}$ συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια $f\ \hbox{στο}\ [a,b]$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $[a,b]\ \hbox{και}\ f^\prime = g.$

Θεώρημα 37 (Κριτήριο Cauchy)   . Έστω $f_n:A\rightarrow \mathbb R\ ,\ n\in \mathbb N$. Η $\{ f_n\}$ συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση στο $A$ αν και μόνο αν: για κάθε $\varepsilon>0\ \hbox{υπάρχει}\ n_0=n_0(\varepsilon)$ ώστε $n, m\geq n_0 \Rightarrow \varrho(f_n,f_m)\leq \varepsilon\ , \ \hbox{δηλαδή}\ \vert f_n(t)-f(t)\vert \leq \varepsilon\ ,\ \forall\ t \in A$.