Λύση

Αν $t=0$, τότε $f_n (0)=0\rightarrow 0$. Αν $t \neq 0$, τότε $f_n(t) \rightarrow 0$ (λόγω του $n$ στο παρονομαστή). Για να δείξουμε οτι η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στο $\mathbb R$, αρκεί να δείξουμε οτι

$$\sup _{t\in \mathbb R} \vert f_n (t)\vert\rightarrow 0$$

καθώς $n \rightarrow \infty$. Εξετάζουμε την $f_n$ στο $(0, +\infty)$:

$$f ^\prime _n (t) = \frac{1+ nt^2 -2nt^2}{(1+nt^2)^2} = \frac{1-nt^2}{(1+nt^2)^2}$$

Δηλαδή, η μέγιστη τιμή της $f_n$ sto $(0, +\infty)$ είναι:

$$f_n \biggl ( \frac{1}{\sqrt{n}}\biggr) = \frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+n \frac{1}{n}}=\frac{1}{2\sqrt{n}} .$$

Αφού η $f_n$ είναι περιττή, έχουμε $\sup _{t \in \mathbb R} \vert f_n(t)\vert = \frac{1}{2 \sqrt{n}} \rightarrow 0$. Άρα, $f_n \stackrel{\hbox{\footnotesize ο.μ.}}{\rightarrow} 0$.

Αν $t \neq 0$, τότε $f^\prime _n(t) = \frac{1-nt^2}{1+2nt^2+n^2t^4} =\frac{n}{n^2} \frac{\frac{1}{n}... ...{\frac{1}{n^2}+\frac{2t^2}{n}+t^4} \rightarrow (-\frac{1}{t^2}) =0=f^\prime (t)$. Αν $t=0, \ f^\prime _n (0) =1 \not \rightarrow f^\prime (0)$.

Έστω $[\alpha , b]$ διάστημα που δεν περιέχει το $0$. Έχουμε:

$$\vert f^\prime _n (t)\vert = \vert\frac{1-nt^2}{(1+nt^2)^2}\... ...}{1+nt^2} \leq \frac{1}{n} \frac{1}{\min \{ {\alpha} ^2, b^2\}}$$

δηλαδή $\max _{t\in [\alpha , b]} \vert f^\prime _n (t)\vert \rightarrow 0$ καθώς $n \rightarrow \infty$. Άρα,

$f^\prime _n \stackrel{\hbox{\footnotesize o.μ.}}{rightarrow} f^\prime \equiv 0$ στο $[\alpha , b]$.

Αν το $0 \in [\alpha ,b]$ τότε $f^\prime _n \stackrel{\hbox{\footnotesize κ.σv.}}{\not \rightarrow } 0$ (αφού $f^\prime _n(0) \rightarrow 1$),

άρα $f^\prime _n \stackrel{\hbox{\footnotesize ο.μ.}}{\not \rightarrow } 0$ στο $[\alpha , b]$.

Άσκηση 4 Υπόδειξη