Άσκηση 5

Έστω $f_n(t)=\frac{1}{n}e^{-n^2t^2}\ ,\ t \in \mathbb R$. Αποδείξτε οτι $f_n \rightrightarrows 0\ \hbox{στο}\ \mathbb R$ και $f_n^\prime \rightarrow 0\ \hbox{στο}\ \mathbb R$. Αποδείξτε οτι $f^\prime_n$ δεν συγκλίνει ομοιόμορφα στο $0$ σε οποιοδήποτε διάστημα περιέχει το $0$, ενώ $f_n^\prime \rightarrow 0$ σε οποιοδήποτε κλειστό διάστημα δεν περιέχει το $0$.

Υπόδειξη Λύση