Άσκηση 4

Έστω $f_n(t)=\frac{t}{1+nt^2}\ ,\ t\in \mathbb R$. Αποδείξτε οτι υπάρχει $f$ ώστε $f_n \rightrightarrows f\ \hbox{στο}\ \mathbb R.$ Αποδείξτε οτι $f_n ^\prime(t) \rightarrow f^\prime(t)\ \hbox{αν}\ t \neq 0\ ,\ \hbox{αλλά}\ f^\prime_n(0)$ δεν συγκλίνει στο $f^\prime(0)$. Για ποιά διαστήματα $[a, b]$ ισχύει οτι $f_n^\prime \rightrightarrows f^\prime \ \hbox{στο}\ [a,b]$?

Υπόδειξη Λύση