Λύση

Έχουμε $f_n (0)=0\rightarrow 0$.

Αν $0<t\leq 1$, τότε $0\leq 1-t^2 <1$, άρα $n^p t(1-t^2 )^n \rightarrow 0$ (δείξτε οτι $\frac{n^p}{a^n}\rightarrow 0$, αν $a>1$). Άρα, όποια και αν είναι η τιμή της παραμέτρου $π$, έχουμε $f_n \stackrel{\hbox{{\footnotesize κ.σv.}}}{\longrightarrow} f$, όπου $f$ η μηδενική συνάρτηση.

Για να δούμε για ποιές τιμές του $p$ η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη, βρίσκουμε τη μέγιστη τιμή της $f_n$:

$$\begin{eqnarray*} f_n^\prime (t) &=& n^p (1-t^2 )^n -n^p t (1-t^2 )^{n-1} (2t) \... ...} [1-t^2 -2nt^2 ] \\ &=& n^p (1- t^2 )^{n-1} [1-(2n+1)t^2 ]\\ \end{eqnarray*}$$

Άρα, η $f_n$ έχει μέγιστο στο $\frac1{\sqrt{2n+1}}$, ίσο με

$$\frac{n^p}{\sqrt{2n+1}} \left( 1-\frac1{2n+1}\right)^n .$$

Αν $p<1/2$, τότε $0\leq f_n (t)<\frac{n^p}{\sqrt{2n+1}}\rightarrow 0$. Άρα $f_n \rightrightarrows 0.$

Αν $p\geq 1/2$, τότε

$$\max_{t\in [0,1]} f_n (t) \geq \frac{n^p}{\sqrt{2n+1}} \frac1{\sqrt{e}}$$

που τείνει στο άπειρο αν $p>1/2$ ενώ είναι μεγαλύτερο ή ίσο με $1/\sqrt{2e}$ αν $π=1/2$.

Και στις δύο περιπτώσεις η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη.

Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα της $f_n$:

$$\begin{eqnarray*} \int_0^1 n^p t(1-t^2 )^n\,dt &\stackrel{y=1-t^2}{=}& \int_1^0... ...&=& \frac{n^p}{2} \int_0^1 y^n\,dy \\ &=&\frac{n^p}{2(n+1)} \\ \end{eqnarray*}$$

Έχουμε οτι $\frac{n^p}{2(n+1)} \rightarrow 0$ αν και μόνο αν $p<1$. 'Αρα,

$$\int_0^1 f_n (t)\,dt \rightarrow \int_0^1 f(t)\,dt$$

όταν $p<1$.

Άσκηση 3 Υπόδειξη