Άσκηση 3

Έστω $f_n(t)=n^p t {(1-t^2)}^n \ ,\ t \in [0,1]$ $p$ είναι παράμετρος στο $\mathbb R$. Αποδείξτε οτι, για κάθε $p \in \mathbb R\ ,\ \hbox{η} \{f_n\}$ συγκλίνει κατά σημείο σε κάποια $f$ στο $[0,1]$. Για ποιές τιμές του $p$ είναι η σύγκλιση ομοιόμορφη? Για ποιές τιμές του $p$ ισχύει οτι $\int^1_0 f_n \rightarrow \int^1_0 f$?

Υπόδειξη Λύση