Λύση

Για $t=0$ έχουμε $f_n (0)=1\rightarrow 1$. Αν $t\in (0,1]$, τότε $f_n (t)=\frac1{1+nt}\rightarrow 0$. Άρα, $f_n \stackrel{\hbox{{\footnotesize κ.σv.}}}{\longrightarrow} f$ όπου

$$f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 1, &\hbox{αν}\; t=0 \\ 0, &\hbox{αν}\; 0<t\leq 1. \end{array}\right.$$

Κάθε $f_n$ είναι συνεχής συνάρτηση. Αφού η $f$ δεν είναι συνεχής, η σύγκλιση δεν μπορεί να είναι ομοιόμορφη.

Απ'' ευθείας επιχείρημα: αν ήταν, τότε για $t=1/3$ θα υπήρχε $n_0 \in \mathbb N$ τέτοιο ώστε για κάθε $n \geq n_0$ και $0<t\leq 1$ να ισχύει: $\Bigm\vert \frac1{1+nt} -0\Bigm\vert<1/3$. Δηλαδή $\frac1{1+nt}<1/3$. 'Ομως για $t=1/n$ έχουμε

$$f_n \left( \frac1{n}\right) = \frac1{1+n\frac1{n}} =\frac12>\frac13$$

το οποίο είναι άτοπο. Άσκηση 1 Υπόδειξη