Λύση

Έχουμε δει οτι μια δυναμοσειρά παραγωγίζεται κατά όρους σε οποιοδήποτε σημείο του διαστήματος σύγκλισής της. Δηλαδή, αν $\vert t-t_0\vert<\mathbb R$ τότε

$$f^\prime (t) = \sum ^\infty _{k=1} k\alpha _k (t-t_0)^{k-1}$$

$$f^{\prime \prime }(t) = \sum ^\infty _{k=2} k(k-1)\alpha _k (t-t_0)^{k-2}$$

$$\ldots$$

$$f^{(m)} (t) = \sum ^\infty _{k=m} k(k-1)\ldots (k-m+1) \alpha _k (t-t_0)^{k-m}$$

Αν θέσουμε $t=t_0$, παίρνουμε

$$f^{(m)} (t_0) = \sum ^\infty _{k=m} k(k-1)\ldots (k-m+1) \alpha _k (t-t_0)^{k-m}$$

Οι όροι που αντιστοιχούν σε $k>m$ μηδενίζονται, άρα

$$f^{(m)}(t_0) -m(m-1)\ldots (m-m+1)\alpha _m = m!\alpha _m.$$

Άσκηση 2 Υπόδειξη