Λύση

Η $\sum ^\infty _{k=1} (-1)^k \frac{k}{k^2} = \sum ^\infty _{k=1} (-1)^k \frac{1}{k}$ συγκλίνει, ομοιόμορφα στο $[-A, A]$ αν την δούμε σαν σειρά (σταθερών) συναρτήσεων.

Αν $f_k(t)=(-1)^k \frac{t^2}{k^2}$, έχουμε $\vert f_k(t)\vert= \frac{t^2}{k^2} \leq \frac{A^2}{k^2}$ στο $[-A, A]$ και η $\sum ^\infty _{k=1} \frac{A^2}{k^2}$ συγκλίνει άρα από το κριτήριο του Weierstrass η

$$\sum ^\infty _{k=1} (-1)^k \frac{t^2}{k^2}$$

συγκλίνει, ομοιόμορφα στο $[-A, A]$. Προσθέτοντας, παίρνουμε οτι η

$$\sum ^\infty _{k=1} (-1)^k \frac{t^2+k}{k^2}$$

συγκλίνει, ομοιόμορφα στο $[-A, A]$.

Είναι:

$$\sum ^\infty _{k=1}\vert(-1)^k \frac{t^2+k}{k^2} \vert=\sum ^... ... _{k=1}\frac{k}{k^2} = \sum ^\infty _{k=1}\frac{1}{k}=+\infty .$$

Άσκηση 705 Υπόδειξη