Λύση

Αν $x\in A$, τότε για το $y=x\in A$ έχουμε $\vert x-y\vert=0<\varepsilon$. Άρα $x \in N_A(\varepsilon )$. Δηλαδή $A\subseteq N_A(\varepsilon )$. Έστω $x \in N_A(\varepsilon )$. Υπάρχει $y\in A$ των $\vert x-y\vert<\varepsilon$. Θέτουμε $\delta =\varepsilon -\vert x-y\vert>0$. Θα δείξουμε οτι $N_x(\delta ) \subseteq N_A(\varepsilon ):$ έστω $z\in N_x (\delta)$. Τότε $\vert y-z\vert\leq \vert y-x\vert+x-z\vert<\vert y-x\vert+\delta =\varepsilon$. Άρα, $z\in N_A(\varepsilon)$. Αφού κάθε $x \in N_A(\varepsilon )$ είναι εσωτερικό σημείο του $N_A(\varepsilon )$, το $N_A(\varepsilon )$ είναι ανοικτό. Άσκηση 11 Υπόδειξη