Άσκηση 1

Ορισμός 9   Αν $A\subset \mathbb R$ τότε το σύνολο που περιέχει όλα τα σημεία συσσώρευσης του $A$ ονομάζεται παράγωγο σύνολο του $A$ και γράφεται $A^\prime$. Για τα ακόλουθα σύνολα $A$ απαντήστε αν είναι ανοικτά ή κλειστά ή τίποτε και βρείτε τα $\ring A$, $\overline{A}$, $\partial{A}$, $A^\prime$:

(α)    όλων των ειδών τα διαστήματα με άκρα πραγματικούς αριθμούς,
(β)     οποιοδήποτε υποσύνολο του $\mathbb R$ με πεπερασμένου πλήθους στοιχεία,
(γ)    $\mathbb Z$,
(δ)    $\mathbb Q$,
(ε)     $\{1 \ , \ \frac{1}{2} \ , \ \frac{1}{3} \ , \ \frac{1}{4} \ , \ \ldots\}$,
(στ) $\{ \frac{1}{n} + \frac{1}{m} \ \vert \ n,m \in \mathbb N \}$,
(ζ)     $\{ \ \frac{1}{2^n} + \frac{1}{5^m} \ \vert \ n,m \in \mathbb N\}$,
(η)     $\{ (-1)^n + \frac{1}{m} \ \vert \ n,m\in \mathbb N \}$,
(θ)     $\{ \frac{(-1)^n}{1+\frac{1}{n}} \ \vert \ n\in \mathbb N \}$
(ι)    $\mathbb C$
(ια)     $\mathbb R \setminus \mathbb Q$. Υπόδειξη Λύση