Λύση

(α)    Τα διαστήματα της μορφής $[a, b]$ είναι κλειστά, τα $(a,b)$ ανοιχτά και τα $(s,b]$ ή $[a,b)$ τίποτα. Όλα αυτά έχουν εσωτερικό το $(a,b)$, θήκη το $[a, b]$, σύνορο το $\{a,b\}$ και σύνολο σημείων συσσώρευσης το $[a, b]$.
(β)     Τα σύνολα με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων στο $\mathbb R$ είναι κλειστά, έχουν κενό εσωτερικό, ταυτίζονται με τη θήκη τους και με το σύνορό τους και δεν έχουν σημεία συσσώρευσης.
(γ)    Ισχύουν τα ίδια με το (β).
(δ)    Το $\mathbb Q$ δεν είναι ούτε ανοιχτό ούτε κλειστό. Έχει κενό εσωτερικό, θήκη, σύνορο και σύνολο σημείων συσσώρευσης όλο το $\mathbb R$.
(ε)    Το σύνολο αυτό έχει κενό εσωτερικό, θήκη και σύνορο τον εαυτό του ένωση με το $\{ 0\}$, και σημεία συσσώρευσης το $\{ 0\}$.
(στ) Το σύνολο αυτό έχει κενό εσωτερικό, θήκη και σύνορο τον εαυτό του ένωση με το $\{ 0\}$, και σημεία συσσώρευσης το $\{ 1,\frac12 ,\frac 13 ,\ldots \}\cup \{ 0\}$,

Ομοίως κάνουμε και τα υπόλοιπα.

Άσκηση 1 Υπόδειξη