Λύση

Έστω $\varepsilon >0$. Αφού $x_n\rightarrow x$, υπάρχει $n_0(\varepsilon ) \in \mathbb N$ που για κάθε $n \geq n_0$ να έχουμε $x_n \in N_x(\varepsilon )$. Είναι $k_n\geq n$, άρα αν $k_n \geq n\geq n_0$ οπότε $x_{k_n} \in N_x (\varepsilon )$. Άρα, $x_{k_n} \rightarrow x$.

Άσκηση 1 Υπόδειξη